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00:00A tous ceux qui se sont fait soulever par le concours GP Polytech, on continue la correction du QCM par tontoire algébrique.
00:05Et on est sur la deuxième partie, à partir de l'exercice 4.
00:08On définit la fonction f par l'expression exponentielle de x moins 1 sur exponentielle de x plus 1.
00:13La question a baissé, on demande si on a des asymptotes d'équations y égale 1, y égale moins 1 et x égale 1.
00:19On constate que la limite en plus l'infini est égale à 1.
00:21Pourquoi ? Parce que si je factorise l'expression par exponentielle de x, je trouve ceci, j'ai simplification d'exponentielle de x.
00:27Et j'ai bien ça, et ça, ça tend vers 0, ça tend vers 0, donc j'ai 1 sur 1, 1.
00:31Et ça, c'est très exactement dire que la droite d'équation y égale 1 est une asymptote verticale.
00:35Check.
00:36De même, la limite en moins l'infini, j'ai ceci qui tend vers 0, qui tend vers 0, ça vaut moins 1.
00:41Et donc y égale moins 1, il y a une asymptote horizontale.
00:43Pardon, j'ai dit verticale, mais c'est horizontal ici, j'ai mis des v, mais c'est horizontal.
00:46On veut savoir pour une asymptote d'équation x égale 1.
00:49En question ci, on a que f est définie, elle est continue sur r.
00:52Donc ça signifie que sa limite en n'importe quelle valeur de r, c'est égal à son image.
00:57En particulier, ce n'est pas égal à plus ou moins l'infini.
00:59Or, pour avoir une asymptote d'équation x égale 1, il faudrait que sa limite en 1 soit égale à plus ou moins l'infini,
01:05mais sa limite en 1, c'est juste égal à l'expression évaluée en 1.
01:08Donc faux, et même on peut affirmer qu'elle n'a aucune asymptote verticale.
01:124D, f est décroissante sur r.
01:14Alors, on a que f est dérivable sur r, et que sa dérivée est égale à cette expression,
01:19qui vaut ceci après simplification.
01:21Et le dénominateur est strictement positif, le numérateur également.
01:24Donc la dérivée est strictement positive, donc la fonction est strictement croissante.
01:28Donc faux, f n'est pas décroissante.
01:29Et question e, est-ce que pour tout réel x, f de moins x est égal à ceci ?
01:33Soit donc x dans r, on a que f de moins x est égal, j'ai remplacé l'x par des moins x,
01:37et je multiplie en haut et en bas par exponentielle de x la fraction,
01:41ce qui va me faire 1 moins exponentielle x,
01:43donc exponentielle x fois exponentielle moins x, ça fait 1,
01:46et fois 1 exponentielle x, et en bas j'ai 1 plus exponentielle x ici,
01:49et bien l'expression qui est ici.
01:51Check pour ce résultat.
01:52Merci.
01:53Merci.
01:54Merci.