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00:00Cite d'exercice de théorie de la mesure, on définit cette application sur la tribu des Borréliens de R à valeur dans 0 plus l'infini fermé,
00:06qui a B associé l'intégrale au sens de Lebeck sur B de la gaussienne.
00:10Le but est tout simplement de démontrer que cette application-là est une mesure sur R munie de sa tribu Borrélienne.
00:16On va faire s'il fonctionne aussi avec la tribu de Lebeck.
00:18On va rappeler ce que c'est une mesure, merci poto Wikipédia.
00:20Donc une mesure, on a un espace mesurable, ici notre espace c'est R B de R.
00:25On doit vérifier deux points.
00:26Le premier point c'est que l'ensemble vide a une mesure nulle, autrement dit mu de vide est égal à 0.
00:31Ici on a évidemment que mu de vide c'est l'intégrale sur vide de la fonction,
00:34l'ensemble vide étant de mesure de Lebeck nulle, on a bien sûr que cette intégrale est nulle.
00:39C'est intéressant, le deuxième point nous dit que l'application est sigma additive,
00:42c'est-à-dire que si on a une famille dénombrable d'ensembles, qui sont 2 à 2 disjoints,
00:47alors la mesure de l'union c'est égale à la somme infinie de la mesure de chacun des ensembles.
00:53Soit donc une famille de boréliens qui vérifient que EI inter EJ est égal à la somme vide quand EI est différent de J.
00:59Ça a bien sûr un sens de parler de l'ensemble E qui est l'union de 1 à l'infini de tous les EI,
01:03et notre but va donc être de montrer cette égalité.
01:06Je vais définir les ensembles BI qui sont les unions pour k variant de 1 à I D E K.
01:10Sur pour tout I, BI est un borélien en tant qu'union finie de borélien.
01:13Juste avant, petit point que j'ai appelé, désolé, cette application elle est bien définie.
01:17Pourquoi ? Parce que cette fonction elle est intégrable sur R, donc en particulier elle est intégrable sur tout borélien.
01:23Parce que cette intégrale c'est l'intégrale sur R de 7 fonctions multipliées par l'indicatrice du borélien,
01:28et c'est inférieur ou égal tout simplement à cette fonction-là.
01:31Donc les intégrales sont dans le même sens par monotonie de l'intégrale.
01:33Donc je calcule la mesure des BI aux 7 sommes-là d'après les propriétés de l'intégrale de Lebeg.
01:38Pourquoi ? Parce que l'union est disjointe et donc égale à ceci.
01:42Remarquons que les BI forment une suite croissante d'ensemble pour l'inclusion.
01:45Et donc on a ceci pour MU, que l'intégrale d'une fonction positive prise sur un certain ensemble
01:50est toujours plus petite que l'intégrale de la même fonction positive prise sur un ensemble plus gros qui inclut le premier.
01:55On a que la suite des MUBI est croissante.
01:57Après le théorème de cours sur les suites, soit cette suite tend vers plus infini, soit elle converge.
02:01Vu que tous les BI sont inclus dans R, par le même raisonnement, on a que ceci est inférieur ou égal à MU de R qui a une valeur finie.
02:06Parce que pour rappel, cette fonction est intégrable sur R.
02:09La suite est croissante et majorée, elle converge.
02:11Alors en vrai, on pourrait directement montrer avec du théorème de convergence monotone de B-Polevi
02:15que non seulement la limite existe, mais en plus qu'on peut intervertir la limite et le MU, ou l'intégrale.
02:20Je te laisse mettre les détails en commentaire, mais nous on va faire un petit peu différemment là.
02:23Soit GN une suite de fonctions étagées qui convergent vers F fois l'indicatrice de B en croissant.
02:29Oui, c'est toujours possible d'en construire une.
02:31Eh bien GN multiplié par l'indicatrice de BN converge en croissant vers F fois l'indicatrice de B.
02:35Je te laisse le démontrer en commentaire.
02:36Notons que G fois l'indicatrice de BN est une fonction étagée en tant que produit de fonction étagée.
02:41Après le cours, on n'a que par définition de l'intégrale de F sur B, on a cette égalité.
02:46Non seulement ce sub pour les G étagés inférieurs à F fois l'indicatrice de B,
02:50mais c'est aussi la limite de l'intégrale de n'importe quelle suite de fonctions étagées
02:53convergent vers F fois l'indicatrice de B.
02:55Sauf qu'on a cette inégalité, puisque Gn fois l'indicatrice de BN est inférieure ou égale à F fois l'indicatrice de BN,
03:02puisque Gn est inférieure ou égale à F.
03:04Donc ce qui est à gauche, c'est μ de BN.
03:06Et je passe à la limite dans l'inégalité.
03:08J'obtiens que la limite de ceci qui vaut ceci est inférieure ou égale à ça.
03:11Donc j'ai que la limite des μ de BN, qui pour rappel existe dans R,
03:15est supérieure ou égale à μ de B.
03:17Pour l'inégalité dans l'autre sens, je remarque que BN est inclus dans B,
03:20puisque B c'est l'union de tous les BN.
03:22Donc les indicatrices sont dans cet ordre-là, et donc en multipliant par F qui est positif,
03:27j'ai cette inégalité, et par positivité de l'intégrale,
03:30j'ai que l'intégrale sur BN est inférieure à l'intégrale de F sur B,
03:34ce qui veut dire que μ de BN est inférieure ou égale à μ de B.
03:38Donc en passant à la limite, j'obtiens que la limite de μ de BN est inférieure ou égale à μ de B.
03:42Donc on a bien égalité entre les deux, check !
03:44Check, j'ai dit !
03:45Donc pourquoi est-ce qu'on est passé par les ensembles B ?
03:46Parce qu'on voulait simplement avoir une suite d'ensembles croissantes pour l'inclusion.
03:50Pour rappel, μ de BI, c'est la somme des μ de EK.
03:53Je viens de démontrer que ceci admet une limite finie quand n tend vers plus l'infini.
03:57Et donc on a bien que μ de B, c'est égal à la somme de la série des μ de EN pour N variant de 1 à plus l'infini.
04:04Check again !
04:05Mais, mais, mais, mais, on remarque assez facilement que B est en fait égal à E.
04:09Voici donc l'égalité qu'on a démontrée.
04:11C'était exactement ce qu'on voulait ici.
04:14On a donc bien montré cette égalité pour n'importe quelle suite d'ensemble de A de disjoint.
04:19Donc cette application est bien une mesure sur l'attribut des Borréliens.
04:23Note que cette démonstration va marcher avec n'importe quelle fonction qui est positive et intégrale.
04:27Et pour ton information, on appelle ça une mesure à densité par rapport à la mesure de Lebeck.
04:32C'est-à-dire que la mesure d'un Borrélien ou d'un ensemble de l'attribut de Lebeck
04:37est l'intégrale d'une certaine fonction intégrable et positive sur l'attribut de Borrel ou Lebeck,
04:42l'intégrale étant prise sur l'ensemble B en question.
04:44Voilà, lâchez en commentaire les réponses aux questions que j'ai laissées en suspens.
04:48Et si jamais il y a des choses qui ne sont pas claires, n'hésite pas aussi à le dire.
04:50Bisous !