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00:00On rigole, on rigole, mais dites-vous qu'il y a des élèves de prépa qui ne comprennent pas ce que sont les polynômes d'interpolation de Lagrange.
00:05Panique pas, Tonto Algebraie t'explique ça tout de suite.
00:07Premièrement, c'est quoi l'interpolation ?
00:09Non, non, ça n'a rien à voir avec Interpol et ce que tu as fait illégalement sur Internet.
00:12Interpoler dit très simplement, c'est se poser la question, si j'ai des points dans le plan, est-ce que je peux trouver une fonction, dont la courbe ?
00:20On va résumer ça en une courbe, une courbe qui passe par ces points.
00:23Voici deux exemples.
00:24Notez que dans l'absolu, on n'a même pas besoin d'être une fonction.
00:26Parce que la définition fait sens pour n'importe quelle courbe paramétrée comme celle que j'ai représentée ici en vert.
00:32L'interpolation polynomiale, c'est étant donné des points, est-ce que je peux trouver une fonction polynomiale qui va passer par ces points ?
00:39Oui, je confonds fonction et courbe, je l'ai dit tout à l'heure, concentre-toi.
00:42Il faut savoir que quand on a une quantité finie de points, on tousse des abscisses distinctes, il y a une infinité de polynômes qui peuvent passer par ces points.
00:49Donc l'interpolation au sens large, si on ne précise pas la catégorie de fonction, ça n'a pas énormément de sens.
00:54Et même polynomial, ce n'est pas ouf parce qu'on a une infinité de polynômes qui satisfont ce qu'on veut.
00:59Là où l'interpolation du poteau Lagrange est hyper intéressante, c'est qu'en fait, il nous précise que le polynôme est unique à condition qu'on fixe le degré.
01:09Quand je dis fixer le degré, on ne veut pas qu'il soit égal à ça, mais qu'il soit inférieur ou égal à quelque chose, donc précisément ici à n-1.
01:14L'énoncé te dit donc que pour x1, xn distinct, il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à n-1 qui vaut 1 en x1, 0 en x2, x3, etc. jusqu'à xn.
01:27De même, il en existe un unique qui vaut 1 en x2, 0 en x1, 0 en x3, etc. jusqu'à xn.
01:33Et ainsi de suite, et ce sont les polynômes que je viens d'écrire et que vous voyez à l'écran là.
01:37C'est le premier énoncé du théorème et après on passe à la suite.
01:40Pour regarder de plus près cette formule, en testant pour des valeurs de n, vous allez voir qu'en fait le polynôme est naturellement construit pour s'annuler où il faut et valoir 1 où il faut.
01:49Prenons un exemple.
01:50Je vais prendre x1, x2, x3, mais prends des réels plus précis si ça t'aide.
01:54Après la formule, en recopiant tel quel, j'ai que l1 est égal à ce polynôme là.
01:58Donc là j'ai écrit de 1 à 3, cas différent de 1, donc ça veut dire qu'on n'a que 2 et 3.
02:02Donc explicitement, j'ai ce produit.
02:04Si tu vois bien que c'est justement construit pour que ça s'annule à x3,
02:07parce que si grand x est remplacé par x3, j'ai x3 moins x3, 0, et en multipliant tout ça, ça me fait 0.
02:12Pareil pour le premier terme, c'est construit pour que ça s'annule en x2,
02:14parce que si je remplace grand x par x2, on s'en fiche d'ici.
02:17Ici j'ai 0 fois, et j'ai que des fois derrière, donc tout ça me fera 0.
02:20Et de même, c'est construit pour valoir 1 en x1,
02:23parce que si je remplace grand x par x1, j'aurai un x1 ici, j'aurai un x1 ici,
02:28et donc j'ai bien la même chose en haut et en bas, ça me fait 1.
02:31Même chose en haut et en bas, ça me fait 1 aussi, et j'ai une multiplication que de 1.
02:34Et bien voilà, note que ces li forment une base des polynômes de degré inférieur ou égal à n-1.
02:40Ici, de degré inférieur ou égal à 2, parce que oui, ici on est bien de degré 2.
02:43Et donc tous les polynômes peuvent s'écrire à partir de polynômes de cette façon-là,
02:48quand on avait fixé les x1, xn bien sûr.
02:50Dans la prochaine vidéo, je t'explique comment exactement on fait de l'interpolation
02:53pour avoir des ordonnées fixées.
02:56Pour ça, lâche interpolation de Lagrange en commentaire.
02:58Bisous !