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00:00On attaque le sujet de Mille sur l'inégalité de Kinshine version MP, mat 1 2025.
00:05Je te laisse lire l'énoncé et j'attaque avec la question 1.
00:08Montrez que pour tout xy dans R+, xy est inférieur ou égal à x puissance p sur p plus y puissance q sur q.
00:15Ou bien sûr, 1 plus p plus 1 sur q est égal à 1.
00:18Bon, si tu maîtrises bien ton cours, ça c'est un classique, c'est ni plus ni moins qu'une inégalité de convexité appliquée en logarithme.
00:25Soit xy dans R plus étoile, puisque si l'un des deux est nul, l'inégalité à démontrer est évidente.
00:30J'ai ln de xy, qui est bien défini puisque tous les deux sont non nuls, et strictement positif,
00:35qui est égal à ln de x plus ln de y par propriété du ln.
00:38Mais toujours par propriété du ln, je peux faire apparaître un facteur 1 sur p et mettre x à la puissance p,
00:43puisque ln de x puissance p, c'est p ln de x.
00:46Et donc le p 1 sur p fait un facteur 1, ce qui fait bien ln de x.
00:49Et de même, je fais ici pareil avec 1 sur q ln de x puissance q.
00:54Et bien par concavité du logarithme néperien, tout ceci c'est inférieur à logarithme néperien de 1 sur p x puissance p plus 1 sur q y puissance q,
01:02où j'ai appliqué la convexité en x puissance p et x puissance q, et 1 sur p plus 1 sur q est bien égal à 1.
01:10La fonction qui est à t associée à ln de t étant concave, car sa dérivée seconde qui est à t associée à moins 1 sur t2 est bien négative sur r plus étoile.
01:19J'applique la fonction exponentielle qui est strictement croissante, et donc j'obtiens que xy est inférieur ou égal à x puissance p sur p plus x puissance q sur q.
01:27Check pour la question.
01:28Question 2. On déduit l'inégalité de Holder.
01:31On nous donne l'indication de commencer par traiter le cas où l'espérance de x puissance p est égale à l'espérance de y puissance q, qui est égale à 1.
01:36On rappelle que d'après l'énoncé, les variables aléatoires grand x et grand y sont toutes les deux positives,
01:41et donc je peux appliquer le résultat de la question 1 à grand x plus grand y,
01:45et donc j'ai que x fois y est inférieur ou égal à grand x puissance p sur p plus grand y puissance q sur q.
01:51Et je peux appliquer l'espérance à l'inégalité, et j'ai une propriété de croissance de l'espérance comme l'intégrale,
01:56parce qu'en fait c'est une sorte d'intégrale, mais je te laisse démontrer dans les commentaires que dans le cas de l'espérance pour une VA finie,
02:02on a bien une croissance comme ça.
02:03C'est-à-dire l'espérance d'une VA qui est plus petite qu'une autre est plus petite que l'espérance d'une VA qui est plus grande.
02:08Donc je fais la VA de cette somme, et donc par linéarité de l'espérance, j'ai bien 1 sur p espérance de x puissance p plus 1 sur q espérance de y puissance q.
02:17Oui, oui, c'est bien un y.
02:18Mais en tenant compte de l'indication de l'énoncé, je suis dans le cas où l'espérance de x puissance p et l'espérance de y puissance q valent toutes les deux 1,
02:24et donc je me retrouve avec 1 sur p plus 1 sur q, ce qui fait bien 1, ce qui est égal au produit des espérances de ceci.
02:31On va expliquer les cas où l'espérance de x puissance p ou l'espérance de y puissance q vaut 0,
02:36puisqu'ici les variables aléatoires étant en valeur positive, l'espérance vaut 0, implique que les variables aléatoires elles-mêmes sont nulles.
02:43Et dans le cas où l'une des deux est nulle, on a bien sûr égalité, donc l'inégalité de Holder.
02:47Et j'applique donc ce que je viens de démontrer avant pour ces deux variables aléatoires x' et y' définies par ceci,
02:52et je remarque qu'à la puissance p, elle vérifie bien que l'espérance de x' puissance p est égale à 1,
02:57et l'espérance de y' puissance q est égale à 1 par l'inérité de l'espérance,
03:01puisque j'ai ceci puissance p qui devient l'espérance de xp, et j'ai ça qui prend la puissance p.
03:05J'ai 1 sur ça qui sort en facteur par l'inérité de l'espérance,
03:08et donc j'aurai bien 1 sur ça fois l'espérance de x puissance p, ce qui me fait bien 1, et même raisonnement pour ça.
03:13Et j'obtiens cette inégalité.
03:17Si, je sors ceci par l'inérité de l'espérance, et je multiplie comme ça, vu que ça c'est positif, j'obtiens bien cette inégalité.
03:23Check.
03:24Question 3. Quelle inégalité retrouve-t-on lorsque p égale q égale 2, en donner alors une preuve directe ?
03:29Il s'agit de cette inégalité-là, qui n'est autre que l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
03:33Deuxième partie de la question, en donner alors une preuve directe.
03:36Et bien pour tout t dans R, je vais considérer la quantité espérance de x fois t sur 2 plus y, le taux carré dans l'espérance.
03:43Ce truc-là est bien sûr supérieur ou égal à 0, car la quantité dedans est supérieure ou égale à 0.
03:47Puisque c'est une fonction au carré.
03:49Et donc j'utilise l'identité remarquable à l'intérieur, et j'obtiens bien ceci, puis ceci en utilisant la linéarité de l'espérance.
03:56Et donc j'ai que cette quantité-là est supérieure ou égale à 0 pour tout t dans R.
03:59Mais cette quantité-là, c'est un polynôme en t du second degré.
04:04Donc s'il est supérieur ou égal à 0, de signe quasiment constant, c'est que le discriminant est inférieur ou égal à 0, nécessairement.
04:11Parce que le signe n'est pas constant, il change quand le discriminant est strictement positif.
04:16Or le discriminant vaut ceci, b carré moins 4ac, les 4 se simplifient.
04:21Et en passant côté droit, le moins espérance de x carré, espérance de y carré, et en prenant la racine carré, puisque tous les termes sont positifs, j'obtiens bien cette inégalité.
04:30Voilà pour la preuve directe.
04:32Alors comment ça s'était passé pour toi cette première partie ?
04:34Vas-y, n'hésite pas à détailler en commentaire.
04:36Bisous !