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00:00De l'épreuve math 1, min, filière PC et PSI tombée en 2025, on attaque la partie 2, le cas diagonalisable, question 6 à 9.
00:08Question 6, soit x un nombre réel non nul, exprimer le déterminant de xin-a en fonction de x, dette de a et dette de 1 sur xin-a puissance 0.1.
00:17Eh bien, on fixe x derrière étoile et j'écris le déterminant en factorisant à l'intérieur par a.
00:21Étant donné que a est inversible, l'identité est égale à a fois a-1 et a est bien égale à a fois l'identité, donc j'obtiens bien ceci.
00:29Et par propriété de morphisme du déterminant, j'ai que ceci est égal au déterminant de a multiplié par le déterminant de ce qu'il y a à l'intérieur.
00:36Mais ce qu'il y a à l'intérieur, je l'ai factorisé par x et en sortant du déterminant, on a le facteur x qui devient un facteur x puissance n d'après les propriétés du déterminant.
00:46Et de même, je vais factoriser ici par moins 1 pour obtenir ce qu'ils nous disent, ce qui me fait finalement cette expression-là.
00:51Check.
00:527, on suppose que a est semblable à son inverse.
00:54On suppose préciser les valeurs que peut prendre le déterminant de a et en déduire que le polynôme caractéristique de a est soit réciproque, soit anti-réciproque.
01:01Donc on rappelle d'après l'énoncé que c'est ceci être semblable à l'existence d'une matrice inversible permettant cette relation.
01:06Et donc il existe p tel qu'on ait cette égalité.
01:09Et donc je prends le déterminant et par propriété de memphysme du déterminant, j'ai que le déterminant de l'inverse de la matrice P est égal à le déterminant de P en inverse.
01:18Et le déterminant de a inverse est égal à l'inverse du déterminant de a.
01:22Et là j'ai le déterminant de P, le déterminant de P et l'inverse du déterminant de P se simplifient.
01:27Et donc j'ai que le déterminant de a est égal à l'inverse du déterminant de a.
01:31et en multipliant l'égalité par déterminant de a, j'obtiens bien que déterminant de a² est égal à 1,
01:35soit que le déterminant de a est égal à plus ou moins 1.
01:38Check pour cette première partie.
01:39Deuxième partie de la question, déduire que xi a est soit réciproque, soit anti-réciproque.
01:43Eh bien, précisons que les polynômes caractéristiques de a et a moins 1 sont les mêmes,
01:46car a et a moins 1 sont semblables.
01:48Il suffit de revenir à la définition et de factoriser de chaque côté par p et p moins 1,
01:52puis de sortir les déterminants de p et de simplifier.
01:54D'après la question 6, j'ai que xi a de x est égal à ceci,
01:57où j'ai remplacé le déterminant de a par plus ou moins 1, déterminant de a qui apparaissait là.
02:02Et ici, on reconnaît le polynôme caractéristique de a moins 1 appliqué en 1 sur x,
02:06qui, d'après ce qu'on vient de dire, est égal au polynôme caractéristique de a, du coup, appliqué en 1 sur x.
02:10Et donc, j'obtiens bien ceci, ce qui est bien la définition de la réciprocité, ou de l'anti-réciprocité.
02:16Check.
02:17Question 8. Soit b une matrice diagonalisable,
02:19on suppose que le polynôme caractéristique de b est réciproque ou anti-réciproque,
02:22démontrait que b est inversible et semblable à son inverse.
02:24Soit b tel que le polynôme caractéristique est réciproque ou anti-réciproque,
02:28alors on peut affirmer que les valeurs propres de b sont non nulles.
02:31Puisque d'après la question 2, si un polynôme est réciproque, alors, en particulier, ses racines sont non nulles.
02:37Et s'il est anti-réciproque, il s'écrit comme x-1 fois un polynôme réciproque ou constant.
02:42Donc les racines de b sont non nulles, et du coup, on a la racine a en plus qui est non nulle.
02:46Et on a même l'info que 1 sur lambda, où lambda est une valeur propre,
02:50est de même multiplicité algébrique ou géométrique, vu qu'ici on est diagonalisable.
02:54Donc je peux écrire comme ça, où là c'est la matrice diagonale correspondant à la diagonalisation de b,
02:59et on sait que d est diagonale sans 0 sur sa diagonale, puisque 0 n'est pas valeur propre de b.
03:05Donc on peut affirmer que d est inversible, puisqu'une matrice diagonale est inversible
03:09si et seulement si elle n'a pas de 0 sur sa diagonale,
03:11et son inverse est donnée par la matrice diagonale,
03:14où je prends tous les inverses dans le même ordre sur la diagonale.
03:16Et donc je vais considérer la matrice b' qui est donnée par p-1 d-1p,
03:22et cette matrice vérifie que b' fois b est égale b fois b' est égale l'identité,
03:26puisqu'ici le p et le p-1 vont se neutraliser,
03:29d et d-1 vont se neutraliser, donner l'identité,
03:31il va rester p-1 et p qui vont se neutraliser, donner l'identité.
03:34Et pareil dans l'autre sens.
03:35Donc cette relation montre que b est inversible,
03:38et que son inverse est bien donnée par p-1 d-1p.
03:41Check.
03:42Deuxième partie de la question veut montrer que b est inversible,
03:44semblable à son inverse.
03:46Et bien b est diagonalisable,
03:47donc je vais considérer v1, vm une base de vecteurs propres de b.
03:50Donc ils sont chacun associés à des valeurs propres,
03:53et je vais considérer l'application linéaire que je construis comme suit.
03:56Dans la manière dont j'ai ordonné la base de cette façon,
03:59elle envoie un vecteur propre associé à une certaine valeur propre lambda,
04:03en le permutant avec un autre vecteur propre associé à la valeur propre 1 sur lambda.
04:09Vu qu'on a les mêmes multiplicités, on peut faire le choix qu'on veut,
04:12on a un certain nombre de vecteurs propres pour lambda,
04:14mais on a le même nombre de vecteurs propres pour 1 sur lambda,
04:17et donc je permute peu importe comment.
04:20Simplement dans le cas de l'anti-réciprocité,
04:21on a un vecteur propre associé à 1,
04:24lui je le laisse tel quel.
04:25Et je considère l'application f qui a x qui est décomposé dans la base vi,
04:29associé x' qui est décomposé comme ça dans la nouvelle base,
04:32où j'ai fait la permutation dont j'ai parlé juste avant.
04:35C'est bien une application linéaire,
04:37et elle est donc représentée par une matrice P,
04:39et il suffit que je repermute les vecteurs dans l'autre sens
04:42pour obtenir du coup un inverse de cette application.
04:44Donc elle est inversible et représentée par une matrice inversible.
04:48Et grâce à cette application,
04:49on a donc l'existence d'une matrice de changement de base
04:53qui permet de passer de D à D-1.
04:56Et donc j'en déduis que B est égal à tout ceci,
04:59puisque B est égal à P-1 D-P,
05:01et je remplace D par ceci,
05:03et je remplace D-1,
05:04P, B-1, P, d'après cette relation.
05:07Et donc ici j'ai bien une matrice inversible,
05:09et j'ai bien ici son inverse.
05:11Attention, l'inverse change le sens,
05:13donc j'ai bien l'inverse P-1 ici,
05:16P'-1 là,
05:18et P-1-1, donc P ici.
05:21Ce qui montre bien la similarité de B et B-1.
05:23Check.
05:24Question 9.
05:25Montrer que la matrice B affichée n'est pas semblable à son inverse.
05:28Et on nous donne une indication sur les espaces propres de B et B-1
05:31pour la valeur propre 2.
05:32Tout d'abord, on peut noter que ces deux vecteurs
05:34sont vecteurs propres de B pour la valeur propre 2.
05:37Et donc, le sous-espace propre associé à 2,
05:40c'est bien le sous-espace engendré par ces deux vecteurs.
05:43Et de même, on n'a que ce vecteur propre
05:44et vecteur propre pour B associé à la valeur propre 1 demi.
05:48Je te laisse faire les calculs en commentaire.
05:49On peut montrer que le sous-espace propre ici
05:52est de dimension 1.
05:53Donc, on n'a que ce vecteur propre-là
05:55en tant que famille libre.
05:57Or, être un vecteur propre associé à B-1
06:00pour la valeur propre 2,
06:01ça équivaut à être un vecteur propre associé à B
06:03pour la valeur propre 1 demi.
06:05Car toutes ces égalités sont équivalentes.
06:07Ici, j'ai ceci.
06:08Je multiplie par B à gauche et à droite.
06:10Et donc, j'ai BB-1 qui fait l'identité.
06:12Donc, ça me fait V
06:12est égal à 2 fois BV
06:15par linéarité de B.
06:17Et je divise par 2 des deux côtés.
06:19J'ai bien 1 demi V
06:20qui est égal à B fois V.
06:22Mais on a dit que le sous-espace propre
06:24associé à la valeur propre 1 demi pour B,
06:26il est de dimension 1.
06:28Donc, ces équivalences impliquent
06:29qu'il en est de même
06:30pour le sous-espace propre
06:31associé à la valeur propre 2
06:32pour B-1.
06:34On a donc ceci,
06:35ce qui n'est pas possible
06:36pour des matrices qui sont semblables
06:38puisqu'elles représentent le même endomorphisme.
06:40Et donc, les espaces propres
06:41devraient être de même dimension.
06:43Si les matrices étaient semblables, bien sûr.
06:451-6-B n'est pas semblable à son inverse.
06:47Check !
06:48Voilà, n'hésitez pas
06:48si jamais tu as des questions,
06:49allez poser en commentaire.
06:51Et on se dit à la prochaine pour la suite.
06:52Bisous !