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00:00Correction de MATA version PSY édition 2025, partie 2.
00:04Si tu veux voir la partie 1, check dans la description ou sur mon profil.
00:07On attaque donc la partie convergence rapide sous des hypothèses fortes.
00:11Je te laisse lire l'introduction et je lis la question 3.
00:13Dans cette question seulement, on pose f de x est égal 1 demi de L de x carré pour tout x dans R,
00:18où L est strictement positif fixé.
00:20Montrez que xn plus 1 est égal à 1 moins to L xn,
00:24puis exprimez directement xn en fonction de x0 et n.
00:26Donc pour rappel, d'après l'énoncé, xn plus 1 est défini par cette relation.
00:30Sauf qu'ici, f est donné par cette expression et donc f' de x est donné par L x.
00:36Donc soit n en entier naturel, xn plus 1 est égal à xn moins to L xn,
00:40puisqu'on a to fois f' de xn, mais f' c'est l'application qui a x associé L x,
00:45et donc j'ai bien ici to L xn.
00:47Et en factorisant par xn, j'obtiens 1 moins to L, tout ça fois xn.
00:51Check, et on reconnaît une suite géométrique de raison 1 moins to L,
00:54ce qui nous donne cette expression pour tout n.
00:56Check.
00:57B, on suppose x0 différent de 0, justifie que xn converge vers 0 si et seulement si.
01:020 est inférieur strict à taux, inférieur strict à 2 sur L.
01:06x0 est différent de 0, donc si la raison est égale à 1, on ne peut pas converger vers 0.
01:11Or pour une suite géométrique, les seuls cas de convergence,
01:13c'est quand la raison est comprise entre moins 1 strict et 1 large,
01:17mais ici on veut convergence vers 0, donc on exclut 1.
01:19Et donc ceci converge vers 0 si et seulement si la raison est comprise strict entre moins 1 et 1.
01:25Ce qui équivaut à dire qu'on a cette inégalité qui devient celle-ci en retranchant 1 à tous les membres,
01:30et qui devient celle-ci en divisant par moins L, et donc en changeant le sens des inégalités.
01:34Check.
01:35Je te laisse lire la petite introduction à la question 4, et moi je lis la question.
01:38Justifier que f' de x moins alpha x est une fonction croissante de x dans R,
01:42en déduire que alpha est inférieur ou égal à L.
01:45D'après l'énoncé, f est alpha convexe avec alpha strictement positif, autrement dit g est convexe.
01:50Or g est une fonction dérivable en tant que somme de fonctions dérivales,
01:52puisque f est c1 et que la fonction qui a x associé moins 1 demi alpha x carré est évidemment dérivable.
01:58Donc on peut conclure d'après le cours que g' est croissante.
02:01Or g' est donnée par cette expression pour tout x dans R.
02:03Donc on a bien que la fonction via x associée à f' de x moins alpha x est croissante sur R.
02:08Et deuxième partie, on va déduire que alpha est inférieur ou égal à L,
02:11et bien j'ai que 0 est inférieur ou égal à 1,
02:13mais comme on vient de montrer que g' est croissante, j'ai que g' de 0 est inférieur ou égal à g' de 1,
02:18je remplace par les expressions, ça me fait donc f' de 0 inférieur ou égal à f' de 1 moins alpha,
02:23je remplace x par 0 puis par 1,
02:25je passe le alpha à gauche et le f' de 0 à droite,
02:28et j'obtiens que alpha est inférieur ou égal à f' de 1 moins f' de 0.
02:31Or d'après l'énoncé f' et L Lipschitzien,
02:34donc ceci c'est inférieur ou égal à L fois 1 moins 0,
02:37qui est égal à L, et donc j'ai bien que alpha est inférieur ou égal à L.
02:40Check.
02:41Question 5, montrer que f de x est supérieur ou égal à f de 0 plus f' de 0 x plus alpha x carré sur 2,
02:47pour tout x dans R, on déduire que f a de bien un minimiseur sur R.
02:50Donc g est convexe sur R,
02:51pour rappel, donc g est au-dessus de chacune de ces tangentes, d'après le cours.
02:56Or si on considère sa tangente en 0,
02:58elle a pour équation y est égal à g' de 0 facteur de x moins 0 plus g de 0,
03:03autrement dit, y est égal à f' de 0 x plus f de 0.
03:07Je remplace x par 0, j'ai bien que g' de 0 c'est f' de 0,
03:10et que g de 0 c'est f de 0.
03:12J'ai donc bien cette équation de tangente,
03:14et du coup j'ai que pour toute x dans R,
03:16g de x est supérieur ou égal à f' de 0 x plus f de 0.
03:19Et on remplace g par son expression,
03:21donc j'obtiens bien f de x moins 1 demi alpha x carré supérieur ou égal à tout ceci,
03:25et je dégage ceci en le faisant passer du côté droit,
03:28et j'obtiens finalement que pour toute x dans R,
03:30f de x est supérieur ou égal à f de 0 plus f' de 0 fois x plus alpha sur 2 x carré.
03:35Check.
03:36En déduire que f admet un minimiseur sur R.
03:39Et on peut noter que f est une fonction qui vérifie les conditions de la partie 1 dans le préliminaire.
03:43Non seulement elle est continue,
03:44mais en plus, ça limite en moins l'infini c'est plus l'infini,
03:47et sa limite en plus l'infini c'est plus l'infini.
03:49Pourquoi ?
03:50Eh bien déjà on précise que comme elle est c1, elle est bien évidemment continue.
03:53Et ensuite, par l'inégalité que je viens de montrer ici,
03:55je prends la limite de toute cette expression quand x tend vers moins l'infini,
03:59j'ai que tout ceci tend vers moins l'infini,
04:01je factorise par x carré,
04:02donc j'ai 0, 0,
04:04et donc j'ai un truc positif,
04:06et donc le x carré va tendre vers plus l'infini en moins l'infini,
04:09et donc d'après le théorème de comparaison,
04:11j'ai que la limite de f aussi,
04:13c'est plus l'infini en moins l'infini,
04:14et exactement le même raisonnement quand x tend vers plus l'infini.
04:17Donc la limite de f en plus ou moins l'infini est égale à plus l'infini,
04:20f est de plus continue sur r,
04:23donc d'après la question 1,
04:24f admet un minimiseur.
04:26Check !
04:26Question 6,
04:27Montrez que pour tout x, y dans r,
04:29alpha, valeur absolue de x moins y au carré,
04:31est inférieure ou égale à f prime de x moins f prime de y,
04:33tout ça fois x moins y.
04:35Soit donc x, y dans r, tel que y est inférieur ou égal à x.
04:37Pour rappel, g est convexe,
04:39et en plus g est dérivable.
04:40Donc g' est croissante.
04:42Et donc en appliquant g',
04:43j'ai g' de y inférieur ou égal à g' de x,
04:45et donc je remplace par les expressions,
04:47j'obtiens bien ceci.
04:48Et donc je fais passer le moins alpha x côté gauche
04:50et le f prime de y côté droit,
04:52et j'obtiens ceci.
04:53Et je multiplie par x moins y qui est positif,
04:55et donc qui préserve l'inégalité,
04:56j'obtiens bien l'inégalité voulue.
04:58Ici j'ai un carré,
04:59donc c'est pareil, j'ai des valeurs absolues.
05:01Et de même, on a ceci dans le cas où x est inférieur ou égal à y.
05:04Je te laisse vérifier qu'on obtient bien aussi l'inégalité voulue.
05:07Check !
05:07On attaque donc en écrivant x tilde moins y tilde en valeur absolue au carré,
05:30et donc je réécris les expressions en remplaçant ici.
05:33Et je rassemble x et y et moins taux f prime de x et taux f prime de y,
05:38ce qui me donne ceci.
05:40Et je peux enlever les valeurs absolues,
05:41puisque c'est au carré,
05:42donc ça me donne cette expression-là, au carré.
05:45J'utilise l'identité remarquable,
05:46donc j'ai le premier terme x moins y au carré,
05:48moins le double produit,
05:49donc moins 2 fois taux f prime de x moins f prime de y fois x moins y,
05:55plus taux carré f prime de x moins f prime de y au carré.
05:58Je vais un peu l'arranger,
06:00et donc je vais factoriser le terme de fin
06:02par moins taux f prime de x moins f prime de y x moins y,
06:07ce qui me donne dans le crochet ceci,
06:09puisque en distribuant,
06:10j'ai bien moins 2 taux f prime de x moins f prime de y,
06:13ce qui était ce truc-là,
06:15fois x moins y, pardon.
06:16Et en développant ça au moins ceci,
06:19j'ai bien moins et moins plus taux carré fois f prime de x moins f prime de y au carré,
06:24et les x moins y se simplifient.
06:26Et je précise ici que je le fais pour x différent de y,
06:28parce que quand x est égal à y,
06:30l'inégalité est évidente.
06:31Or, je sais que f prime de x moins f prime de y sur x moins y est inférieur ou égal à l.
06:36Pourquoi ?
06:37Parce que f prime est l lipsitienne.
06:39Et donc on a que valeur absolue de ça est inférieure ou égale à l fois valeur absolue de ça.
06:44Et donc le quotient des valeurs absolues est inférieur ou égal à l,
06:47mais le quotient des valeurs absolues,
06:48c'est la valeur absolue du quotient.
06:50Et pour rappel, f prime est croissante parce que f est convexe,
06:54et donc ce quotient-là est bien positif,
06:57puisque x moins y et f prime de x moins f de y sont de même signe.
07:01Donc je peux enlever les valeurs absolues,
07:02et j'ai bien que ceci est inférieur ou égal à l.
07:04Je fais passer le l côté gauche, ceci côté droit,
07:07je multiplie par taux et j'ajoute 2,
07:08et j'obtiens finalement cette inégalité-là,
07:11que je multiplie par moins taux f prime de x moins f prime de y fois x moins y.
07:15Encore une fois, ceci, vu que les deux facteurs sont de même signe,
07:19ça c'est positif, et avec le moins taux c'est négatif.
07:22Donc le terme qui était là, multiplié par ça, passe ici, en inférieur.
07:26Et on devient bien inférieur donc au terme multiplié par 2 moins taux l,
07:31qui était plus petit à la base.
07:32Sauf que d'après la question 6,
07:34tout ça, c'est inférieur ou égal à moins taux alpha x moins y au carré.
07:39Pourquoi ? Parce que ici, si je passe de l'autre côté,
07:41j'ai moins ça qui est inférieur à moins ça,
07:44et je multiplie des deux côtés par taux,
07:47et après je multiplie par 2 moins taux l,
07:50qui est positif d'après l'énoncé.
07:52Donc j'ai que ceci est supérieur à ceci,
07:55qui est supérieur à ceci,
07:57donc ça c'est supérieur à ça.
07:59Et donc en reprenant mon expression de valeur absolue de x tilde moins y tilde au carré,
08:03je majore tout le terme en moins patati patata,
08:06et j'obtiens la majorité suivante,
08:08valeur absolue de x moins y au carré,
08:09moins taux alpha x moins y au carré,
08:12facteur de 2 moins taux l.
08:14Je factorise par la valeur absolue de x moins y au carré,
08:16et j'obtiens bien l'inégalité voulue.
08:18Check !
08:19Question 8, on suppose que 0 est inférieur strict à taux,
08:22qui est inférieur strict à 2 sur l.
08:23Montrez que valeur absolue de xn moins x étoile
08:25est inférieur ou égal à rho puissance n,
08:27valeur absolue de x0 moins x étoile,
08:29où rho est une constante que l'on précisera,
08:31et telle que 0 est inférieur ou égal à rho inférieur strict à 1.
08:34L'inégalité est évidemment vraie quand n est égal à 0,
08:37et donc je pose n dans n étoile quelconque.
08:39On va utiliser l'inégalité précédente en posant x est égal à xn moins 1,
08:43et y est égal à x étoile.
08:45Pour rappel, x étoile tilde est égal à x étoile,
08:47puisque x étoile est un minimiseur,
08:50donc annule la dérivée,
08:51et donc le terme taux dérivé en x étoile vaut 0.
08:54J'ai donc que la valeur absolue de xn moins 1 tilde moins x étoile tilde au carré,
08:59qui est égale à la valeur absolue de xn moins x étoile en valeur absolue au carré,
09:05est inférieure donc à ceci fois le facteur d'après la question 7.
09:10Et comme j'ai pris n quelconque,
09:11je viens de prouver ceci pour toute n,
09:13et donc je réapplique la même chose ici pour n moins 1.
09:16Et après plusieurs applications,
09:17j'obtiens bien le facteur à la puissance n,
09:20et ceci, valeur absolue de x0 moins x étoile au carré.
09:23En prenant les racines carrées,
09:25j'ai donc que la valeur absolue de ceci est inférieure à ceci,
09:28et voici mon rho.
09:29Notez que ceci est bien positif,
09:30donc je peux en prendre la racine,
09:32car ceci est positif,
09:33on a un polynôme en taux,
09:35parce que si je prends le discriminant,
09:36il est négatif,
09:37et donc je suis du signe du coefficient dominant,
09:39qui ici est αL,
09:40qui est strictement positif.
09:42J'ai donc rho égal à ceci,
09:43et je peux noter que rho est inférieur strict à 1,
09:45car taux est inférieur strict à 2L d'après l'énoncé,
09:48et donc j'ai ceci supérieur strictement à 0,
09:50j'ai un produit de positif,
09:51je passe de l'autre côté et j'ajoute,
09:54et je prends la racine carrée,
09:55et j'ai bien que rho est inférieur strict à 1.
09:57Check pour cette deuxième partie,
09:58n'hésite pas si tu as des questions,
09:59à les poser en commentaire,
10:00bisous !