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00:00Merci pour les précisions du commentaire où, dans mon rappel quotidien, je précisais que si une matrice est annulée par un polynôme saint des racines simples, alors cette matrice est diagonalisable et les valeurs propres de cette matrice sont parmi les racines du polynôme.
00:13J'ai pris l'exemple particulier des symétries et des projecteurs et j'ai donné donc des polynômes annulateurs, mais il se trouve que pour ces cas-là, on a bien que ceux-ci, ce sont les polynômes minimaux.
00:23Autrement dit, pour une symétrie, les valeurs propres sont bien 1 et moins 1 et pour un projecteur, les valeurs propres sont bien 0 et 1. Pourquoi ?
00:32Quand on n'est pas dans les cas triviaux, si A est l'identité, un facteur de l'identité ou la matrice nulle.
00:37Tout simplement parce que le polynôme minimal divise ce polynôme puisque ce polynôme-là est un polynôme annulateur et le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur.
00:44Mais il n'y a que trois possibilités pour le polynôme minimal qui pour rappel est unitaire. Soit c'est x plus 1, soit c'est x moins 1, soit c'est tout ça.
00:52Mais si c'est x plus 1, ça veut dire que la matrice A annule x plus 1 et donc que la matrice A est égale à moins l'identité.
00:59Pareil, le même raisonnement nous donne que si ça annule x moins 1, la matrice A est l'identité.
01:03Mais on exclut les cas triviaux, on a dit.
01:05Donc hors cas triviaux, si A est une symétrie, nécessairement moins 1 et 1 sont des valeurs propres puisque ceci est bien le polynôme minimal.
01:16Exactement le même raisonnement nous donnerait ici que soit A est l'identité, soit A est la matrice nulle.
01:20Et donc, en excluant les cas triviaux, si A est un projecteur, alors ceci est bien son polynôme minimal et 0 et 1 sont toutes les deux des valeurs propres de A.
01:31Merci.
01:32Merci.
01:33Merci.
01:34Merci.
01:35Merci.